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□を使った式の落とし穴(□の使い分け)

投稿日:2019年10月23日 更新日:

□は、数をかく場所としての記号として用いる場合と、未知の数量を表す記号として用いる場合、変量を表す記号として用いる場合の3種類が主なものです。

ここでは、□が用いられる場面や児童のつまづきやすいポイントについて解説します。

 

 

数をかく場所としての□

児童が、一番最初に出会う□は「数をかく場所としての□」です。

例えば、 3+2=□ として、解を求めたり、

「3+2をお話しにしよう!」と「リンゴを3こ持っています。□こもらいました。」とすると、「□には何が入る?」といった具合です。

単に「答え(数字)を書くための場所はここですよ。」というマーク(印?)のようなものです。

小学校1年生で出てくる□はこの使われ方です。

未知の数量を表す記号としての□

いよいよ、算数の学習としての□の登場です。2年生では、□が用いられる場面として、下の3つの問題が例示されます。

① はじめにリンゴがいくつかあります。その中から、5個食べたら、7個残りました。はじめにリンゴはいくつありましたか?

お話の通り、式で表すと、

□-5=7 となりますが、図から、□=7+5 として計算します。

② はじめにリンゴをいくつかもっています。5個もらったら12個になりました。はじめにリンゴはいくつありましたか?

お話の通りに式で表すと、 □+5=12 です。図から、□=12-5 と考えて答えを求めます。

③ はじめにリンゴが12個あって、いくつか食べたので、残りは7個になりました。リンゴをいくつ食べましたか?

 

お話の通りに式で表すと、12-□=7 となり、

図から考えて、□=12-7 として答えを求めます。

 

2年生の段階では、□+5=12 を移行して、□=12-5 として考えるわけではありません。(この考えは4年生です。)

図と関連付けることにより、□は12-5をすればいいんだな。 として求めるのです。

ここの学習では、□を求めることよりも、□を用いてお話を式で表すこと に重点を置くべきです。

 

 

未知の数量を表す記号としての□

【第一の難関:すぐに答えを求めてはいけない】

3年生では、「□にどんな数が入るのかわからない。」という前提で、未知の数量を表す記号として□を使います。

この「前提で」というのが、3年生での最も気を付けなくてはならないポイントです!

例えば、「リンゴをいくつか持っていて、さらに8個もらったら、リンゴは全部で17個になりました。最初にリンゴをいくつ持っていましたか?□を用いた式で表して、答えを求めましょう。」

という問題に対して、 17-8=□ と立式したのではバツなのです。(テストの際に減点するかは教師次第かと思います)

まずは、お話の通りに、式を立てて、

□+8=17

とし、上で述べたように、「□にどんな数が入るのかわからない。」という前提で考えるので、□の中に数字を順に当てはめていって、

1+8=9 (17じゃない)

2+8=10 (17じゃない)

3+8=12 (17じゃない)

といった具合に、進めていって、

9+8=17 (17になった!)ということは、□の中に入る数は9だ!と考える必要があるのです。(検討をつけて、8、9と入れるのはアリ)

しかし、優秀な児童ほど、17-8をして、9 として答えを出してしまいます。そのような解き方をしている児童をバツにしろとは言いません。

しかし、そのような児童に対しても、1つずつ□の中に数字を当てはめていくやり方を説明する、もしくはやらせるべきです。

なぜならば、ここで扱う□は、未知数としての□ではなく、変数としての□だからです。

くれぐれも、「2年生のときにやったよね。」と図に表して、

□+8=17 は □=17-8 として考えます。という授業だけはしてはいけません!

何度も言うようですが、優秀な子ほど、つまづくポイントです。このポイントをおさえないと、4年生で学習する「変わり方」で苦しむことになります。

 

 

【第二の難関:□にきまった数をあてはめてはいけない】

4年生の「変わり方」の学習では、□と△を使って、物事を式で表します。「変わり方」や「比例」に関する授業のポイントについてはこちら↓↓

比例学習の系統

4年生では、6年生で学ぶ比例の基礎となる学習を行います。

例えば、「1つ3kgのブロックの数と全体の重さを式で表しましょう。」という問題です。この時、立式する前に表にあらわして、きまった数を見つけていきます。

3×1=3

3×2=6

3×3=9 と考え、言葉の式にすると、

3×ブロックの数全体の重さ

となるので、ブロックを□、全体の重さを△として、

3×□=△

という式になればOKです。

ここで登場する□と△は変数としての記号なので、6年生で登場するxとyと同じ役割です。(我々の時代は中学数学で登場でしたが)

 

一見すると□と△を使って式にあらわすのは、簡単そうに感じますよね。しかし、第一の難関を不十分な理解のまま進んでしまった児童の多くは、

□は未知数だ!」と考えてしまい。3×□=△ の□や△に数字を入れようとして大混乱に陥ります。

ここで出てくる□は変数なので、1にも2にも100にも成り得ます。そして、□の中の数が決まれば△の中の数字が決まります。(逆もまた然り)

しかし、□は未知数だ! と考えている児童にとっては、

□は、1なら1、2なら2 といったように、1つの数量しか表さないと考えているので、「じゃあ、ブロック10個のときの全体の重さは?」という問題で、□に10を入れて(代入して)という考えに至りません。その子にとっては、□の中には、1もしくは2といったきまった数しか入らないと考えているからです。

 

このように、同じ□でも使い方が全く違うために、抑えるべきポイントをしっかり抑えて教えないと、全く問題が解けない児童になってしまいます。

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